Himpunan (set)
·
Himpunan (set)
adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
·
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara
Penyajian Himpunan
1.
Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama:
B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
- C = {a,
{a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1,
2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…,
-2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota
himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan
anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A
= {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b,
c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b, c}
Î R
c Ï R
{}
Î K
{} Ï R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2
= { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2.
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,
2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,
2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
· Himpunan yang
universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x
ú syarat yang
harus dipenuhi oleh x }
Contoh
4.
(i) A adalah himpunan
bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil
dari 5}
atau
A = { x
| x
P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x
adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4.
Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1,
2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
·
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
·
Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 6.
(i) B
= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B =
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T =
{kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A =
{a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan
Kosong
·
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong
(null set).
·
Notasi : Æ atau {}
Contoh
7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke
bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A)
= 0
·
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
·
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan
kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan
Bagian (Subset)
·
Himpunan A
dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A Í B
·
Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y
< 4, x ³, y
³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B
A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang
himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan
kosong merupakan himpunan bagian dari A
( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
·
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.
·
A Í B berbeda
dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan
bagian dari B tetapi A ¹ B.
A
adalah himpunan bagian sebenarnya (proper
subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii)
A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B
yang memungkinkan A = B.
Himpunan
yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B
merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan bagian
dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak
demikian, maka A ¹ B.
·
Notasi : A
= B
« A Í B dan B Í A
Contoh
9.
(i)
Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B
= {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B,
dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B,
dan C = C
(b) jika A = B,
maka B = A
(c) jika A = B
dan B = C, maka A = C
Himpunan
yang Ekivalen
·
Himpunan A
dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi : A
~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh
10.
Misalkan A
= { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b,
c, d }, maka A ~ B
sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan
Saling Lepas
·
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.
·
Notasi : A
// B
·
Diagram Venn:
Contoh
11.
Jika A
= { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan
Kuasa
·
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah
suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
·
Notasi : P(A) atau 2A
·
Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika A
= { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan
kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
· Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
Contoh
14.
(i) Jika A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10,
14, 18},
maka A
Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A
= { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka
A B = .
Artinya:
A // B
b. Gabungan (union)
· Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }
Contoh
15.
(i) Jika A
= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A
= A
c. Komplemen (complement)
· Notasi : = { x | x Î U, x Ï A }
Contoh
16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i)
jika A =
{1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika A = {
x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh
17. Misalkan:
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun
1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang
dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas
tertentu
(i) “mobil mahasiswa
di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)
(ii) “semua mobil
produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang
dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii)
“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990
mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à
d.
Selisih (difference)
· Notasi : A – B
= { x | x Î A dan x Ï B } =
A Ç
Contoh
18.
(i) Jika A
= { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2,
4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3}
– {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
· Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
Contoh
19.
Jika A
= { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas
80
Q = himpunan
mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa
mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat
nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian
di bawah 80.
(i)
“Semua
mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii) “Ssemua mahasiswa
yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)
TEOREMA 2. Beda
setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
f. Perkalian Kartesian (cartesian
product)
· Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }
Contoh
20.
(i) Misalkan C
= { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C
´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A
= B = himpunan semua bilangan riil,
maka
A
´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan
berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3. Perkalian
kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4.
Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A = Æ
Contoh
21. Misalkan
A
= himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie
rebus }
Berapa banyak kombinasi
makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan
minuman, yaitu {(s, c), (s,
t), (s, d), (g, c),
(g, t), (g, d), (n,
c), (n, t), (n, d),
(m, c), (m, t), (m,
d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota
himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d)
P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
Contoh 22.
(i) A (B1B2 ... Bn)
= (A B1)
(A B2)
... (A Bn)
(ii) Misalkan A = {1,
2}, B
= {a, b}, dan C = {a, b}, maka
A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }
Hukum-hukum
Himpunan
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A = U
A =
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
5. Hukum involusi:
= A
|
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
=
=
|
11.
Hukum 0/1
= U
= Æ
|
|
Prinsip Dualitas
· Prinsip dualitas:
dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang
benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan
boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
-
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri
boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat
dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di
Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
·
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ,
, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ® U, U ® ,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut
dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas:
A = A
|
Dualnya:
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
|
Dualnya:
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A = U
|
Dualnya:
A =
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
|
Dualnya:
A A = A
|
5. Hukum penyerapan:
A (A B) = A
|
Dualnya:
A (A B) = A
|
6. Hukum komutatif:
A B = B A
|
Dualnya:
A B = B A
|
7. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
|
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
|
9. Hukum De Morgan:
|
Dualnya:
|
10. Hukum 0/1
= U
|
Dualnya:
= Æ
|
Contoh
23.
Dual dari (A B) (A ) = A adalah
(A
B) (A ) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan
100 yang habis dibagi 3 atau 5?
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A Ç B = himpunan bilangan bulat
yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh
KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan adalah ½A È B½.
½A½ = ë100/3û = 33,
½B½ = ë100/5û = 20,
½A Ç B½ = ë100/15û = 6
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47
Untuk tiga buah himpunan A, B,
dan C, berlaku
½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –
½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½
Untuk himpunan A1,
A2, …, Ar, berlaku:
Partisi
·
Partisi dari sebuah
himpunan A adalah sekumpulan himpunan
bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Contoh
25.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan
Ganda
·
Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus
berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1,
1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
·
Multiplisitas dari suatu
elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada
himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },
multiplisitas 0 adalah 4.
·
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari
suatu multiset, yang dalam hal ini
multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
·
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya
(ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi
Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut
pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a,
a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b,
c, c },
P Q = { a, a, a,
b,
c, c, d, d }
2. P Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut
pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a,
a, c, d, d } dan Q = { a, a, b,
c, c }
P Q = { a, a, c
}
3. P – Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a,
a, b, b, c, d,
d, e } dan Q = { a, a, b,
b, b, c,
c, d, d, f
} maka P – Q = { a, e }
4. P + Q, yang
didefinisikan sebagai jumlah (sum)
dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen
tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a,
b, c, c } dan Q = { a, b, b, d
},
P + Q = { a, a,
a, b, b, b, c,
c, d }
Pembuktian Pernyataan
Perihal Himpunan
1. Pembuktian dengan
menggunakan diagram Venn
Contoh
26.
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A Ç (B È C) (A Ç B) È (A Ç C)
Kedua digaram
Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
· Diagram Venn
hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
· Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap
sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2.
Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh
27.
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Bukti:
A
|
B
|
C
|
B È C
|
A Ç (B È C)
|
A Ç B
|
A Ç C
|
(A Ç B) È (A Ç C)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
3.
Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Bukti:
(A Ç B) È (A Ç ) = A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
= A Ç U (Hukum
komplemen)
= A (Hukum
identitas)
Contoh 29. Misalkan A
dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B
Bukti:
A È (B – A) = A
È (B Ç ) (Definisi operasi
selisih)
= (A
È B) Ç (A È ) (Hukum
distributif)
= (A
È B) Ç U (Hukum
komplemen)
= A
È B (Hukum
identitas)
Contoh
30. Buktikan bahwa untuk sembarang
himpunan A dan B, bahwa
(i)
A È ( Ç B) = A È B dan
(ii) A Ç ( È B) = A Ç B
Bukti:
(i) A È ( Ç B) = ( A È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
= U Ç (A Ç B) (H.
komplemen)
= A È B (H.
identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A Ç ( È B) = (A Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
= Æ È (A Ç B) (H.
komplemen)
= A Ç B (H.
identitas)
4.
Pembuktian dengan menggunakan definisi
Bukti:
(i) Dari definisi
himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x
Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).
Dari definisi operasi
gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.
(ii) Karena x
Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tipe Set dalam Bahasa
Pascal
·
Bahasa Pascal menyediakan
tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa
dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }
Huruf = set
of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan
pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
·
Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan
adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’,
‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’,
‘E’];
· Uji keanggotaan
sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in
seperti contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
· Di dalam kakas
pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;
Follow Us
Were this world an endless plain, and by sailing eastward we could for ever reach new distances