Himpunan (set)
·
Himpunan (set)
adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
·
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara
Penyajian Himpunan
1.
Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama:
B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
- C = {a,
{a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1,
2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…,
-2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota
himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan
anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A
= {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b,
c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b, c}
Î R
c Ï R
{}
Î K
{} Ï R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2
= { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2.
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,
2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,
2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
· Himpunan yang
universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x
ú syarat yang
harus dipenuhi oleh x }
Contoh
4.
(i) A adalah himpunan
bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil
dari 5}
atau
A = { x
| x
P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x
adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4.
Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1,
2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
·
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
·
Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 6.
(i) B
= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B =
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T =
{kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A =
{a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan
Kosong
·
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong
(null set).
·
Notasi : Æ atau {}
Contoh
7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke
bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A)
= 0
·
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
·
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan
kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan
Bagian (Subset)
·
Himpunan A
dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A Í B
·
Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y
< 4, x ³, y
³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B
A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang
himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan
kosong merupakan himpunan bagian dari A
( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
·
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.
·
A Í B berbeda
dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan
bagian dari B tetapi A ¹ B.
A
adalah himpunan bagian sebenarnya (proper
subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii)
A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B
yang memungkinkan A = B.
Himpunan
yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B
merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan bagian
dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak
demikian, maka A ¹ B.
·
Notasi : A
= B
« A Í B dan B Í A
Contoh
9.
(i)
Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B
= {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B,
dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B,
dan C = C
(b) jika A = B,
maka B = A
(c) jika A = B
dan B = C, maka A = C
Himpunan
yang Ekivalen
·
Himpunan A
dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi : A
~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh
10.
Misalkan A
= { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b,
c, d }, maka A ~ B
sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan
Saling Lepas
·
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.
·
Notasi : A
// B
·
Diagram Venn:
Contoh
11.
Jika A
= { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan
Kuasa
·
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah
suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
·
Notasi : P(A) atau 2A
·
Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika A
= { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan
kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
· Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
 |
Contoh
14.
(i) Jika A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10,
14, 18},
maka A
Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A
= { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka
A B = .
Artinya:
A // B
b. Gabungan (union)
· Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }
 |
Contoh
15.
(i) Jika A
= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A
= A
c. Komplemen (complement)
· Notasi : 
= { x | x Î U, x Ï A }
= { x | x Î U, x Ï A } |
Contoh
16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i)
jika A =
{1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika A = {
x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh
17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun
1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang
dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas
tertentu
(i) “mobil mahasiswa
di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)
(ii) “semua mobil
produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang
dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii)
“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990
mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à 
d.
Selisih (difference)
· Notasi : A – B
= { x | x Î A dan x Ï B } =
A Ç 
 |
Contoh
18.
(i) Jika A
= { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2,
4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3}
– {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
· Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
Contoh
19.
Jika A
= { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas
80
Q = himpunan
mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa
mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat
nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian
di bawah 80.
(i)
“Semua
mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii) “Ssemua mahasiswa
yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)
TEOREMA 2. Beda
setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A
Å (B Å C ) (hukum
asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian
product)
· Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }
Contoh
20.
(i) Misalkan C
= { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A
= B = himpunan semua bilangan riil,
maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan
berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3. Perkalian
kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4.
Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A = Æ
Contoh
21. Misalkan
A
= himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie
rebus }
B
= himpunan minuman = { c = coca-cola,
t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi
makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan
minuman, yaitu {(s, c), (s,
t), (s, d), (g, c),
(g, t), (g, d), (n,
c), (n, t), (n, d),
(m, c), (m, t), (m,
d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota
himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d)
P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
    |
Contoh 22.
(i) A (B1B2 ... Bn)
= (A B1)
(A B2)
... (A Bn)
(ii) Misalkan A = {1,
2}, B
= {a, b}, dan C = {a, b}, maka
A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }
Hukum-hukum
Himpunan
|
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
|
5. Hukum involusi:
 = A |
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
|
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
 =   =  |
|
11.
Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
Prinsip Dualitas
· Prinsip dualitas:
dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang
benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan
boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
-
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri
boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat
dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di
Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
·
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ,
, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ® U, U ® ,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut
dual dari kesamaan S.
|
1. Hukum identitas:
A = A
|
Dualnya:
A U = A
|
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
|
Dualnya:
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
= U |
Dualnya:
A
= |
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
|
Dualnya:
A A = A
|
|
5. Hukum penyerapan:
A (A B) = A
|
Dualnya:
A (A B) = A
|
|
6. Hukum komutatif:
A B = B A
|
Dualnya:
A B = B A
|
|
7. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
|
|
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
|
|
9. Hukum De Morgan:
= |
Dualnya:
= |
|
10. Hukum 0/1
= U |
Dualnya:
= Æ |
Contoh
23.
Dual dari (A B) (A ) = A adalah
) = A adalah
(A
B) (A ) = A.
) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan
100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A Ç B = himpunan bilangan bulat
yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh
KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan adalah ½A È B½.
½A½ = ë100/3û = 33,
½B½ = ë100/5û = 20,
½A Ç B½ = ë100/15û = 6
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B,
dan C, berlaku
½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –
½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½
Untuk himpunan A1,
A2, …, Ar, berlaku:
½A1 È A2 È … È Ar½ = 
½Ai½ – 
½Ai Ç Aj½ +
½Ai½ – ½Ai Ç Aj½ + 
½Ai Ç Aj Ç Ak½ + … +
(-1)r-1
½A1 Ç A2 Ç … Ç Ar½
Partisi
·
Partisi dari sebuah
himpunan A adalah sekumpulan himpunan
bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Contoh
25.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan
Ganda
·
Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus
berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1,
1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
·
Multiplisitas dari suatu
elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada
himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },
multiplisitas 0 adalah 4.
·
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari
suatu multiset, yang dalam hal ini
multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
·
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya
(ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi
Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut
pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a,
a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b,
c, c },
P Q = { a, a, a,
b,
c, c, d, d }
2. P Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut
pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a,
a, c, d, d } dan Q = { a, a, b,
c, c }
P Q = { a, a, c
}
3. P – Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a,
a, b, b, c, d,
d, e } dan Q = { a, a, b,
b, b, c,
c, d, d, f
} maka P – Q = { a, e }
4. P + Q, yang
didefinisikan sebagai jumlah (sum)
dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen
tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a,
b, c, c } dan Q = { a, b, b, d
},
P + Q = { a, a,
a, b, b, b, c,
c, d }
Pembuktian Pernyataan
Perihal Himpunan
·
Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan
notasi himpunan.
·
Pernyataan dapat berupa:
1.
Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan
“A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”
2.
Implikasi
Contoh:
Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku
bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan
menggunakan diagram Venn
Contoh
26.
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.
Bukti:
 |
 |
A Ç (B È C) (A Ç B) È (A Ç C)
Kedua digaram
Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
· Diagram Venn
hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
· Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap
sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2.
Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh
27.
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Bukti:
|
A
|
B
|
C
|
B È C
|
A Ç (B È C)
|
A Ç B
|
A Ç C
|
(A Ç B) È (A Ç C)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
3.
Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A
Ç B) È (A Ç ) = A
) = A
Bukti:
(A Ç B) È (A Ç ) = A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
) = A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
= A Ç U (Hukum
komplemen)
= A (Hukum
identitas)
Contoh 29. Misalkan A
dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B
Bukti:
A È (B – A) = A
È (B Ç ) (Definisi operasi
selisih)
) (Definisi operasi
selisih)
= (A
È B) Ç (A È ) (Hukum
distributif)
) (Hukum
distributif)
= (A
È B) Ç U (Hukum
komplemen)
= A
È B (Hukum
identitas)
Contoh
30. Buktikan bahwa untuk sembarang
himpunan A dan B, bahwa
(i)
A È ( Ç B) = A È B dan
Ç B) = A È B dan
(ii) A Ç ( È B) = A Ç B
È B) = A Ç B
Bukti:
(i) A È ( Ç B) = ( A È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
Ç B) = ( A È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
= U Ç (A Ç B) (H.
komplemen)
= A È B (H.
identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A Ç ( È B) = (A Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
È B) = (A Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
= Æ È (A Ç B) (H.
komplemen)
= A Ç B (H.
identitas)
4.
Pembuktian dengan menggunakan definisi
·
Metode ini digunakan untuk
membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi
pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut
terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).
Contoh
31. Misalkan A dan B
himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi
himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x
Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).
Dari definisi operasi
gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.
(ii) Karena x
Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tipe Set dalam Bahasa
Pascal
·
Bahasa Pascal menyediakan
tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa
dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }
Huruf = set
of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan
pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
·
Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan
adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’,
‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’,
‘E’];
· Uji keanggotaan
sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in
seperti contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
· Di dalam kakas
pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;
0 komentar: